LÍMITE DE FUNCIONES

 Aquí tienes 20 ejercicios sobre límites de funciones, detalladamente resueltos. Los ejercicios incluyen diferentes técnicas como la sustitución directa, la factorización, y la racionalización.

Ejercicio 1

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 2 de $�(�)=3�+4$.

$$\underset{�\to 2}{\lim }(3�+4)=3(2)+4=6+4=10$$

Ejercicio 2

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 1 de $�(�)={�}^2-1$.

$$\underset{�\to 1}{\lim }({�}^2-1)=1^2-1=1-1=0$$

Ejercicio 3

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 3 de $�(�)=\frac{{�}^2-9}{�-3}$.

Primero, factoriza el numerador:

$$\frac{{�}^2-9}{�-3}=\frac{(�-3)(�+3)}{�-3}$$

Simplifica:

$$\underset{�\to 3}{\lim }\frac{(�-3)(�+3)}{�-3}=\underset{�\to 3}{\lim }(�+3)=3+3=6$$

Ejercicio 4

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 2 de $�(�)=\frac{{�}^2-4}{�-2}$.

Factoriza el numerador:

$$\frac{{�}^2-4}{�-2}=\frac{(�-2)(�+2)}{�-2}$$

Simplifica:

$$\underset{�\to 2}{\lim }\frac{(�-2)(�+2)}{�-2}=\underset{�\to 2}{\lim }(�+2)=2+2=4$$

Ejercicio 5

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a -1 de $�(�)=\frac{{�}^2+�}{�+1}$.

Factoriza el numerador:

$$\frac{{�}^2+�}{�+1}=\frac{�(�+1)}{�+1}$$

Simplifica:

$$\underset{�\to -1}{\lim }\frac{�(�+1)}{�+1}=\underset{�\to -1}{\lim }�=-1$$

Ejercicio 6

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{{�}^3}{�}$.

Simplifica:

$$\frac{{�}^3}{�}={�}^2$$

Entonces,

$$\underset{�\to 0}{\lim }{�}^2=0^2=0$$

Ejercicio 7

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 2 de $�(�)=\frac{{�}^3-8}{�-2}$.

Factoriza el numerador (diferencia de cubos):

$${�}^3-8=(�-2)({�}^2+2�+4)$$

Simplifica:

$$\frac{{�}^3-8}{�-2}=\frac{(�-2)({�}^2+2�+4)}{�-2}={�}^2+2�+4$$

Entonces,

$$\underset{�\to 2}{\lim }({�}^2+2�+4)=2^2+2(2)+4=4+4+4=12$$

Ejercicio 8

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 1 de $�(�)=\frac{{�}^3-1}{�-1}$.

Factoriza el numerador (diferencia de cubos):

$${�}^3-1=(�-1)({�}^2+�+1)$$

Simplifica:

$$\frac{{�}^3-1}{�-1}=\frac{(�-1)({�}^2+�+1)}{�-1}={�}^2+�+1$$

Entonces,

$$\underset{�\to 1}{\lim }({�}^2+�+1)=1^2+1+1=1+1+1=3$$

Ejercicio 9

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{1-\sqrt{1+�}}{�}$.

Multiplica por el conjugado:

$$\frac{1-\sqrt{1+�}}{�}\cdot \frac{1+\sqrt{1+�}}{1+\sqrt{1+�}}=\frac{(1-\sqrt{1+�})(1+\sqrt{1+�})}{�(1+\sqrt{1+�})}$$

Simplifica:

$$\frac{1-(1+�)}{�(1+\sqrt{1+�})}=\frac{-�}{�(1+\sqrt{1+�})}=\frac{-1}{1+\sqrt{1+�}}$$

Entonces,

$$\underset{�\to 0}{\lim }\frac{-1}{1+\sqrt{1+�}}=\frac{-1}{1+\sqrt{1}}=\frac{-1}{1+1}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$$

Ejercicio 10

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 4 de $�(�)=\frac{\sqrt{�}-2}{�-4}$.

Multiplica por el conjugado:

$$\frac{\sqrt{�}-2}{�-4}\cdot \frac{\sqrt{�}+2}{\sqrt{�}+2}=\frac{(\sqrt{�}-2)(\sqrt{�}+2)}{(�-4)(\sqrt{�}+2)}$$

Simplifica:

$$\frac{�-4}{(�-4)(\sqrt{�}+2)}=\frac{1}{\sqrt{�}+2}$$

Entonces,

$$\underset{�\to 4}{\lim }\frac{1}{\sqrt{�}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$$

Ejercicio 11

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 1 de $�(�)=\frac{�-1}{{�}^2-1}$.

Factoriza el denominador:

$${�}^2-1=(�-1)(�+1)$$

Simplifica:

$$\frac{�-1}{(�-1)(�+1)}=\frac{1}{�+1}$$

Entonces,

$$\underset{�\to 1}{\lim }\frac{1}{�+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$

Ejercicio 12

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{\sqrt{1+�}-1}{�}$.

Multiplica por el conjugado:

$$\frac{\sqrt{1+�}-1}{�}\cdot \frac{\sqrt{1+�}+1}{\sqrt{1+�}+1}=\frac{(1+�)-1}{�(\sqrt{1+�}+1)}$$

Simplifica:

$$\frac{�}{�(\sqrt{1+�}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+�}+1}$$

Entonces,

$$\underset{�\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+�}+1}=\frac{1}{\sqrt{1}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$$

Ejercicio 13

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 1 de $�(�)=\frac{{�}^2-1}{{�}^3-1}$.

Factoriza el numerador y el denominador:

$${�}^2-1=(�-1)(�+1)$$

$${�}^3-1=(�-1)({�}^2+�+1)$$

Simplifica:

$$\frac{(�-1)(�+1)}{(�-1)({�}^2+�+1)}=\frac{�+1}{{�}^2+�+1}$$

Entonces,

$$\underset{�\to 1}{\lim }\frac{�+1}{{�}^2+�+1}=\frac{1+1}{1^2+1+1}=\frac{2}{1+1+1}=\frac{2}{3}$$

Ejercicio 14

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a -2 de $�(�)=\frac{{�}^2-4}{�+2}$.

Factoriza el numerador:

$${�}^2-4=(�-2)(�+2)$$

Simplifica:

$$\frac{(�-2)(�+2)}{�+2}=�-2$$

Entonces,

$$\underset{�\to -2}{\lim }(�-2)=-2-2=-4$$

Ejercicio 15

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 1 de $�(�)=\frac{{�}^3-1}{{�}^2-1}$.

Factoriza el numerador y el denominador:

$${�}^3-1=(�-1)({�}^2+�+1)$$

$${�}^2-1=(�-1)(�+1)$$

Simplifica:

$$\frac{(�-1)({�}^2+�+1)}{(�-1)(�+1)}=\frac{{�}^2+�+1}{�+1}$$

Entonces,

$$\underset{�\to 1}{\lim }\frac{{�}^2+�+1}{�+1}=\frac{1^2+1+1}{1+1}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}$$

Ejercicio 16

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{{�}^2-2�}{�}$.

Simplifica:

$$\frac{{�}^2-2�}{�}=�-2$$

Entonces,

$$\underset{�\to 0}{\lim }(�-2)=0-2=-2$$

Ejercicio 17

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 1 de $�(�)=\frac{{�}^2-2�+1}{�-1}$.

Factoriza el numerador:

$${�}^2-2�+1=(�-1{)}^2$$

Simplifica:

$$\frac{(�-1{)}^2}{�-1}=�-1$$

Entonces,

$$\underset{�\to 1}{\lim }(�-1)=1-1=0$$

Ejercicio 18

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 2 de $�(�)=\frac{{�}^2-4}{�-2}$.

Factoriza el numerador:

$${�}^2-4=(�-2)(�+2)$$

Simplifica:

$$\frac{(�-2)(�+2)}{�-2}=�+2$$

Entonces,

$$\underset{�\to 2}{\lim }(�+2)=2+2=4$$

Ejercicio 19

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 1 de $�(�)=\frac{{�}^3-1}{�-1}$.

Factoriza el numerador:

$${�}^3-1=(�-1)({�}^2+�+1)$$

Simplifica:

$$\frac{(�-1)({�}^2+�+1)}{�-1}={�}^2+�+1$$

Entonces,

$$\underset{�\to 1}{\lim }({�}^2+�+1)=1^2+1+1=1+1+1=3$$

Ejercicio 20

Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{\sqrt{�+4}-2}{�}$.

Multiplica por el conjugado:

$$\frac{\sqrt{�+4}-2}{�}\cdot \frac{\sqrt{�+4}+2}{\sqrt{�+4}+2}=\frac{(�+4)-4}{�(\sqrt{�+4}+2)}$$

Simplifica:

$$\frac{�}{�(\sqrt{�+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{�+4}+2}$$

Entonces,

$$\underset{�\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{�+4}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$$

Estos ejercicios abarcan varios métodos y técnicas de resolución de límites. Si necesitas más ejercicios o explicaciones adicionales, no dudes en preguntar.

Lista de Ejercicios sobre Límites de Funciones

1. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 3 de $�(�)=2�-5$.
2. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a -1 de $�(�)={�}^2+2�+1$.
3. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 4 de $�(�)=\frac{{�}^2-16}{�-4}$.
4. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 1 de $�(�)=\frac{{�}^3-1}{�-1}$.
5. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{{�}^3}{�}$.
6. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 2 de $�(�)=\frac{{�}^3-8}{�-2}$.
7. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{\sqrt{1+�}-1}{�}$.
8. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a -2 de $�(�)=\frac{{�}^2-4}{�+2}$.
9. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 1 de $�(�)=\frac{{�}^2-1}{�-1}$.
10. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{\sqrt{4+�}-2}{�}$.
11. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 2 de $�(�)=\frac{{�}^2-4�+4}{�-2}$.
12. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 1 de $�(�)=\frac{{�}^2-1}{{�}^2-�}$.
13. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{1-�}{1+�}$.
14. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a -1 de $�(�)=\frac{{�}^3+1}{�+1}$.
15. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 2 de $�(�)=\frac{{�}^2-4}{{�}^2-4�+4}$.
16. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{\sqrt{�+1}-1}{�}$.
17. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 3 de $�(�)=\frac{{�}^2-9}{�-3}$.
18. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{{�}^2+2�}{�}$.
19. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 1 de $�(�)=\frac{{�}^3-1}{{�}^2-1}$.
20. Encuentra el límite cuando $�$ tiende a 0 de $�(�)=\frac{2�+1}{�+1}$.

Estos ejercicios proporcionan una variedad de problemas que abarcan diferentes métodos de resolución de límites, como la factorización, la racionalización y la simplificación. Pueden ayudar a los estudiantes a practicar y dominar el concepto de límites de funciones.