APLICACION DE LA FORMULA GENERAL DE LA CUADRÁTICA

 

Ejemplo 1

vamos a resolver$�2+3�−4=0$.

Paso 1: Identificar los coeficientes.

• $�=1$
• $�=3$
• $�=−4$

Paso 2: Aplicar la fórmula general. La fórmula general es $�=−�±�2−4��2�$.

Paso 3: Sustituir los valores en la fórmula. $�=−3±32−4⋅1⋅(−4)2⋅1$

Paso 4: Calcular el discriminante. $�2−4��=32−4⋅1⋅(−4)=9+dieciséis=25$

Paso 5: Resolver la raíz cuadrada del discriminante. $25=5$

Paso 6: Encontrar las dos soluciones. $�=−3+52⋅1=22=1$ $�=−3−52⋅1=−82=−4$

Solución: Las soluciones son $�=1$ y $�=−4$.

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Ejemplo 2

Resolvamos la ecuación cuadrática $2�2−4�−6=0$.

Paso 1: Identificar los coeficientes.

• $�=2$
• $�=−4$
• $�=−6$

Paso 2: Aplicar la fórmula general. $�=−(−4)±(−4)2−4⋅2⋅(−6)2⋅2$

Paso 3: Calcular el discriminante. $�2−4��=(−4)2−4⋅2⋅(−6)=dieciséis+48=64$

Paso 4: Resolver la raíz cuadrada del discriminante. $64=8$

Paso 5: Encontrar las dos soluciones. $�=4+84=124=3$ $�=4−84=−44=−1$

Solución: Las soluciones son $�=3$y$�=−1$.

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Ejemplo 3

Resolvamos la ecuación cuadrática $�2−6�+9=0$.

Paso 1: Identificar los coeficientes.

• $�=1$
• $�=−6$
• $�=9$

Paso 2: Aplicar la fórmula general. $�=−(−6)±(−6)2−4⋅1⋅92⋅1$

Paso 3: Calcular el discriminante. $�2−4��=(−6)2−4⋅1⋅9=36−36=0$

Paso 4: Resolver la raíz cuadrada del discriminante. $0=0$

Paso 5: Encontrar la solución. $�=6+02=62=3$

Solución: La única solución es $�=3$ (una raíz doble).

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Ejemplo 4

Resolvamos la ecuación cuadrática $3�2+2�−1=0$.

Paso 1: Identificar los coeficientes.

• $�=3$
• $�=2$
• $�=−1$

Paso 2: Aplicar la fórmula general. $�=−2±22−4⋅3⋅(−1)2⋅3$

Paso 3: Calcular el discriminante. $�2−4��=22−4⋅3⋅(−1)=4+12=dieciséis$

Paso 4: Resolver la raíz cuadrada del discriminante. $dieciséis=4$

Paso 5: Encontrar las dos soluciones. $�=−2+46=26=13$ $�=−2−46=−66=−1$

Solución: Las soluciones son $�=13$ y $�=−1$.

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Ejemplo 5

Resolvamos la ecuación cuadrática $�2+�+1=0$.

Paso 1: Identificar los coeficientes.

• $�=1$
• $�=1$
• $�=1$

Paso 2: Aplicar la fórmula general. $�=−1±12−4⋅1⋅12⋅1$

Paso 3: Calcular el discriminante. $�2−4��=12−4⋅1⋅1=1−4=−3$

Paso 4: Resolver la raíz cuadrada del discriminante. $−3=3�$(no$�$ es la unidad imaginaria)

Paso 5: Encontrar las dos soluciones. $�=−1+3�2$ $�=−1−3�2$

Solución: Las soluciones son $�=−1+3�2$y$�=−1−3�2$(raico

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Ejemplo 6

Resolvamos la ecuación cuadrática $4�2−4�+1=0$.

Paso 1: Identificar los coeficientes.

• $�=4$
• $�=−4$
• $�=1$

Paso 2: Aplicar la fórmula general. $�=−(−4)±(−4)2−4⋅4⋅12⋅4$

Paso 3: Calcular el discriminante. $�2−4��=(−4)2−4⋅4⋅1=dieciséis−dieciséis=0$

Paso 4: Resolver la raíz cuadrada del discriminante. $0=0$

Paso 5: Encontrar la solución. $�=4+08=48=12$

Solución: La única solución es $�=12$(una raíz doble).