10 EJERCICIOS UTILIZANDO LA FORMULA GENERAL DE LA CUADRÁTICA

10 ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general. La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática de la forma

$�{�}^2+��+�=0$ es:

$�=\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

Ecuación 1: $2{�}^2+3�-2=0$

Solución por Pasos

Paso 1: Identificar los coeficientes

• $�=2$, $�=3$, $�=-2$

Paso 2: Calcular el discriminante $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��=3^2-4(2)(-2)=9+16=25$

Paso 3: Calcular las raíces ${�}_{1,2}=\frac{-�\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2�}=\frac{-3\pm \sqrt{25}}{4}=\frac{-3\pm 5}{4}$ ${�}_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{2}{4}=0.5$ ${�}_2=\frac{-3-5}{4}=\frac{-8}{4}=-2$

Respuesta Final Las raíces son ${�}_1=0.5$ y ${�}_2=-2$.

Ecuación 2: ${�}^2-4�+4=0$

Solución por Pasos

Paso 1: Identificar los coeficientes

• $�=1$, $�=-4$, $�=4$

Paso 2: Calcular el discriminante $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��=(-4{)}^2-4(1)(4)=16-16=0$

Paso 3: Calcular las raíces ${�}_{1,2}=\frac{-�\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2�}=\frac{4\pm \sqrt{0}}{2}=\frac{4}{2}=2$

Respuesta Final La raíz doble es $�=2$.

Ecuación 3: $3{�}^2+6�+2=0$

Solución por Pasos

Paso 1: Identificar los coeficientes

• $�=3$, $�=6$, $�=2$

Paso 2: Calcular el discriminante $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��=6^2-4(3)(2)=36-24=12$

Paso 3: Calcular las raíces ${�}_{1,2}=\frac{-�\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2�}=\frac{-6\pm \sqrt{12}}{6}=\frac{-6\pm 2\sqrt{3}}{6}=\frac{-3\pm \sqrt{3}}{3}$ ${�}_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{3}$ ${�}_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{3}$

Respuesta Final Las raíces son ${�}_1=\frac{-3+\sqrt{3}}{3}$ y ${�}_2=\frac{-3-\sqrt{3}}{3}$.

Ecuación 4: $4{�}^2-12�+9=0$

Solución por Pasos

Paso 1: Identificar los coeficientes

• $�=4$, $�=-12$, $�=9$

Paso 2: Calcular el discriminante $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��=(-12{)}^2-4(4)(9)=144-144=0$

Paso 3: Calcular las raíces ${�}_{1,2}=\frac{-�\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2�}=\frac{12\pm \sqrt{0}}{8}=\frac{12}{8}=1.5$

Respuesta Final La raíz doble es $�=1.5$.

Ecuación 5: $5{�}^2+2�-3=0$

Solución por Pasos

Paso 1: Identificar los coeficientes

• $�=5$, $�=2$, $�=-3$

Paso 2: Calcular el discriminante $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��=2^2-4(5)(-3)=4+60=64$

Paso 3: Calcular las raíces ${�}_{1,2}=\frac{-�\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2�}=\frac{-2\pm \sqrt{64}}{10}=\frac{-2\pm 8}{10}$ ${�}_1=\frac{-2+8}{10}=\frac{6}{10}=0.6$ ${�}_2=\frac{-2-8}{10}=\frac{-10}{10}=-1$

Respuesta Final Las raíces son ${�}_1=0.6$ y ${�}_2=-1$.

Ecuación 6: ${�}^2+6�+9=0$

Solución por Pasos

Paso 1: Identificar los coeficientes

• $�=1$, $�=6$, $�=9$

Paso 2: Calcular el discriminante $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��=6^2-4(1)(9)=36-36=0$

Paso 3: Calcular las raíces ${�}_{1,2}=\frac{-�\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2�}=\frac{-6\pm \sqrt{0}}{2}=\frac{-6}{2}=-3$

Respuesta Final La raíz doble es $�=-3$.

Ecuación 7: $7{�}^2-5�-2=0$

Solución por Pasos

Paso 1: Identificar los coeficientes

• $�=7$, $�=-5$, $�=-2$

Paso 2: Calcular el discriminante $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��=(-5{)}^2-4(7)(-2)=25+56=81$

Paso 3: Calcular las raíces ${�}_{1,2}=\frac{-�\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2�}=\frac{5\pm \sqrt{81}}{14}=\frac{5\pm 9}{14}$ ${�}_1=\frac{5+9}{14}=\frac{14}{14}=1$ ${�}_2=\frac{5-9}{14}=\frac{-4}{14}=-\frac{2}{7}$

Respuesta Final Las raíces son ${�}_1=1$ y ${�}_2=-\frac{2}{7}$.

Ecuación 8: $2{�}^2-4�-3=0$

Solución por Pasos

Paso 1: Identificar los coeficientes

• $�=2$, $�=-4$, $�=-3$

Paso 2: Calcular el discriminante $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��=(-4{)}^2-4(2)(-3)=16+24=40$

Paso 3: Calcular las raíces ${�}_{1,2}=\frac{-�\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2�}=\frac{4\pm \sqrt{40}}{4}=\frac{4\pm 2\sqrt{10}}{4}=\frac{2\pm \sqrt{10}}{2}$ ${�}_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$ ${�}_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$

Respuesta Final Las raíces son ${�}_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$ y ${�}_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$.

Ecuación 9: $3{�}^2+�-4=0$

Solución por Pasos

Paso 1: Identificar los coeficientes

• $�=3$, $�=1$, $�=-4$

Paso 2: Calcular el discriminante $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��=1^2-4(3)(-4)=1+48=49$

Paso 3: Calcular las raíces ${�}_{1,2}=\frac{-�\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2�}=\frac{-1\pm \sqrt{49}}{6}=\frac{-1\pm 7}{6}$ ${�}_1=\frac{-1+7}{6}=\frac{6}{6}=1$ ${�}_2=\frac{-1-7}{6}=\frac{-8}{6}=-\frac{4}{3}$

Respuesta Final Las raíces son ${�}_1=1$ y ${�}_2=-\frac{4}{3}$.

Ecuación 10: ${�}^2+2�+1=0$

Solución por Pasos

Paso 1: Identificar los coeficientes

• $�=1$, $�=2$, $�=1$

Paso 2: Calcular el discriminante $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��=2^2-4(1)(1)=4-4=0$

Paso 3: Calcular las raíces ${�}_{1,2}=\frac{-�\pm \sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2�}=\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

Respuesta Final La raíz doble es $�=-1$.

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Concepto Clave La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

Explicación del Concepto Clave La fórmula general, $�=\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$, permite encontrar las raíces de una ecuación cuadrática al sustituir los coeficientes $�$, $�$ y $�$ en la fórmula. El discriminante, $\mathrm{\Delta }={�}^2-4��$, determina la naturaleza de las raíces:

• Si $\mathrm{\Delta }>0$, hay dos raíces reales y distintas.
• Si $\mathrm{\Delta }=0$, hay una raíz doble (una sola raíz).
• Si $\mathrm{\Delta }<0$, hay dos raíces complejas y conjugadas.

Conocimientos o Preguntas Relacionadas [1] Resuelve una ecuación cuadrática con raíces complejas. [2] Explica cómo se factoriza una ecuación cuadrática cuando el discriminante es un cuadrado perfecto. [3] Calcula las raíces de la ecuación cuadrática ${�}^2-�-6=0$.

Buen trabajo al estudiar este tema tan importante en matemáticas. Puedes elegir el número correspondiente al punto relacionado que te interesa, o hacer cualquier otra pregunta que tengas. ¡Estoy aquí para ayudarte!