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8/17/26
Formulario de Relatividad General
Compendio de las ecuaciones y formulaciones tensoriales fundamentales de la teoría de Albert Einstein.
1. Ecuaciones de Campo de Einstein (ECE)
Relacionan directamente la geometría del espacio-tiempo con la distribución de materia y energía.
$$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$
- \(G_{\mu\nu}\): Tensor de Einstein (curvatura del espacio-tiempo).
- \(g_{\mu\nu}\): Tensor métrico.
- \(\Lambda\): Constante cosmológica.
- \(G\): Constante de gravitación universal.
- \(c\): Velocidad de la luz en el vacío.
- \(T_{\mu\nu}\): Tensor de energía-impulso (materia, energía y presión).
2. Geometría y Curvatura del Espacio-Tiempo
Intervalo de Espacio-Tiempo (Métrica)
$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$
Símbolos de Christoffel (Conexión de Levi-Civita)
Describe la variación de los vectores base en un espacio curvo:
$$\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \frac{\partial g_{\sigma\nu}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial g_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \right)$$
Tensor de Curvatura de Riemann
$$R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$$
Tensor de Ricci
$$R_{\mu\nu} = R^\lambda_{\ \mu\lambda\nu}$$
Escalar de Ricci (Curvatura Escalar)
$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$
Tensor de Einstein
$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$$
3. Dinámica del Movimiento (Geodésicas)
Ecuación de la Geodésica
Trayectoria de caída libre para partículas u ondas luminosas:
$$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0$$
Donde \(\tau\) representa el tiempo propio de la partícula.
Desviación Geodésica (Fuerzas de Marea)
$$\frac{D^2 \xi^\mu}{d\tau^2} = R^\mu_{\ \nu\alpha\beta} u^\nu u^\alpha \xi^\beta$$
- \(\xi^\mu\): Vector de separación entre geodésicas.
- \(u^\nu\): Vector cuadrivelocidad.
4. Soluciones Exactas Principales
Métrica de Schwarzschild
Geometría exterior de una masa esférica, estática y sin carga en el vacío (\(T_{\mu\nu} = 0\)):
$$ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2 \right)$$
Radio de Schwarzschild (Horizonte de eventos):
$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$
Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW)
Modelo cosmológico para un universo homogéneo e isótropo:
$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right]$$
Ecuaciones de Friedmann
$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}$$
$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}$$
5. Efectos Gravitacionales Observables
Dilatación Temporal Gravitacional
$$\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1 - \frac{2GM}{r c^2}}}$$
Redshift Gravitacional
$$\frac{\nu_\infty}{\nu_0} = \sqrt{1 - \frac{2GM}{r c^2}}$$
Desviación de la Luz (Deflexión de Fotones)
$$\theta = \frac{4GM}{c^2 b}$$
Precesión del Perihelio
$$\delta \phi \approx \frac{6\pi G M}{c^2 a (1 - e^2)}$$
6. Ondas Gravitacionales
Aproximación de campo débil (\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}\)):
$$\left( -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2 \right) \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$
Fórmula del Cuadrupolo
$$h_{ij}^{\text{TT}}(t, r) = \frac{2G}{c^4 r} \ddot{I}_{ij}\left(t - \frac{r}{c}\right)$$
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