APLICACION DE LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS

 Aquí tienes 10 ejercicios sobre la aplicación de relaciones trigonométricas en la solución de triángulos rectángulos, explicados de manera detallada.

Ejercicio 1: Encontrar el cateto opuesto

Problema: En un triángulo rectángulo, el ángulo $�$ es de $30^{\circ }$ y el cateto adyacente $�$ mide 10 cm. Encuentra el cateto opuesto $�$.

Solución:

1. Usa la relación trigonométrica de la tangente:
   $$\tan (�)=\frac{�}{�}$$
2. Sustituye los valores conocidos:
   $$\tan (30^{\circ })=\frac{�}{10}$$
3. Calcula $\tan (30^{\circ })$, que es $\frac{1}{\sqrt{3}}$ o aproximadamente 0.577:
   $$0.577=\frac{�}{10}$$
4. Resuelve para $�$:
   $$�=0.577\times 10=5.77\text{cm}$$

Ejercicio 2: Encontrar la hipotenusa

Problema: En un triángulo rectángulo, un ángulo $�$ mide $45^{\circ }$ y el cateto opuesto a este ángulo $�$ mide 8 cm. Encuentra la hipotenusa $�$.

Solución:

1. Usa la relación trigonométrica del seno:
   $$\sin (�)=\frac{�}{�}$$
2. Sustituye los valores conocidos:
   $$\sin (45^{\circ })=\frac{8}{�}$$
3. Calcula $\sin (45^{\circ })$, que es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ o aproximadamente 0.707:
   $$0.707=\frac{8}{�}$$
4. Resuelve para $�$:
   $$�=\frac{8}{0.707}\approx 11.31\text{cm}$$

Ejercicio 3: Encontrar un ángulo

Problema: En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto $�$ mide 7 cm y la hipotenusa $�$ mide 25 cm. Encuentra el ángulo $�$.

Solución:

1. Usa la relación trigonométrica del seno:
   $$\sin (�)=\frac{�}{�}$$
2. Sustituye los valores conocidos:
   $$\sin (�)=\frac{7}{25}$$
3. Calcula $\frac{7}{25}$:
   $$\sin (�)=0.28$$
4. Usa una calculadora para encontrar el ángulo $�$:
   $$�={\sin }^{-1}(0.28)\approx 16.26^{\circ }$$

Ejercicio 4: Encontrar el cateto adyacente

Problema: En un triángulo rectángulo, el ángulo $�$ es de $60^{\circ }$ y la hipotenusa $�$ mide 15 cm. Encuentra el cateto adyacente $�$.

Solución:

1. Usa la relación trigonométrica del coseno:
   $$\cos (�)=\frac{�}{�}$$
2. Sustituye los valores conocidos:
   $$\cos (60^{\circ })=\frac{�}{15}$$
3. Calcula $\cos (60^{\circ })$, que es $\frac{1}{2}$ o 0.5:
   $$0.5=\frac{�}{15}$$
4. Resuelve para $�$:
   $$�=0.5\times 15=7.5\text{cm}$$

Ejercicio 5: Encontrar el cateto opuesto usando tangente

Problema: En un triángulo rectángulo, el ángulo $�$ es de $45^{\circ }$ y el cateto adyacente $�$ mide 10 cm. Encuentra el cateto opuesto $�$.

Solución:

1. Usa la relación trigonométrica de la tangente:
   $$\tan (�)=\frac{�}{�}$$
2. Sustituye los valores conocidos:
   $$\tan (45^{\circ })=\frac{�}{10}$$
3. Calcula $\tan (45^{\circ })$, que es 1:
   $$1=\frac{�}{10}$$
4. Resuelve para $�$:
   $$�=1\times 10=10\text{cm}$$

Ejercicio 6: Encontrar la hipotenusa usando coseno

Problema: En un triángulo rectángulo, el ángulo $�$ es de $30^{\circ }$ y el cateto adyacente $�$ mide 5 cm. Encuentra la hipotenusa $�$.

Solución:

1. Usa la relación trigonométrica del coseno:
   $$\cos (�)=\frac{�}{�}$$
2. Sustituye los valores conocidos:
   $$\cos (30^{\circ })=\frac{5}{�}$$
3. Calcula $\cos (30^{\circ })$, que es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ o aproximadamente 0.866:
   $$0.866=\frac{5}{�}$$
4. Resuelve para $�$:
   $$�=\frac{5}{0.866}\approx 5.77\text{cm}$$

Ejercicio 7: Encontrar un ángulo usando tangente

Problema: En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto $�$ mide 9 cm y el cateto adyacente $�$ mide 12 cm. Encuentra el ángulo $�$.

Solución:

1. Usa la relación trigonométrica de la tangente:
   $$\tan (�)=\frac{�}{�}$$
2. Sustituye los valores conocidos:
   $$\tan (�)=\frac{9}{12}$$
3. Calcula $\frac{9}{12}$:
   $$\tan (�)=0.75$$
4. Usa una calculadora para encontrar el ángulo $�$:
   $$�={\tan }^{-1}(0.75)\approx 36.87^{\circ }$$

Ejercicio 8: Encontrar el cateto adyacente usando tangente

Problema: En un triángulo rectángulo, el ángulo $�$ es de $60^{\circ }$ y el cateto opuesto $�$ mide 12 cm. Encuentra el cateto adyacente $�$.

Solución:

1. Usa la relación trigonométrica de la tangente:
   $$\tan (�)=\frac{�}{�}$$
2. Sustituye los valores conocidos:
   $$\tan (60^{\circ })=\frac{12}{�}$$
3. Calcula $\tan (60^{\circ })$, que es $\sqrt{3}$ o aproximadamente 1.732:
   $$1.732=\frac{12}{�}$$
4. Resuelve para $�$:
   $$�=\frac{12}{1.732}\approx 6.93\text{cm}$$

Ejercicio 9: Encontrar el cateto opuesto usando seno

Problema: En un triángulo rectángulo, el ángulo $�$ es de $45^{\circ }$ y la hipotenusa $�$ mide 10 cm. Encuentra el cateto opuesto $�$.

Solución:

1. Usa la relación trigonométrica del seno:
   $$\sin (�)=\frac{�}{�}$$
2. Sustituye los valores conocidos:
   $$\sin (45^{\circ })=\frac{�}{10}$$
3. Calcula $\sin (45^{\circ })$, que es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ o aproximadamente 0.707:
   $$0.707=\frac{�}{10}$$
4. Resuelve para $�$:
   $$�=0.707\times 10=7.07\text{cm}$$

Ejercicio 10: Encontrar la hipotenusa usando tangente

Problema: En un triángulo rectángulo, el ángulo $�$ es de $45^{\circ }$ y el cateto opuesto $�$ mide 8 cm. Encuentra la hipotenusa $�$.

Solución:

1. Usa la relación trigonométrica de la tangente:
   $$\tan (�)=\frac{�}{�}$$
2. En un triángulo rectángulo con ángulo de $45^{\circ }$, los catetos son iguales:
   $$�=�=8\text{cm}$$
3. Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa $�$:
   $$�=\sqrt{{�}^2+{�}^2}=\sqrt{8^2+8^2}=\sqrt{128}\approx 11.31\text{cm}$$

Estos ejercicios utilizan las relaciones trigonométricas básicas (seno, coseno y tangente) para resolver diferentes aspectos de triángulos rectángulos, proporcionando una base sólida para los estudiantes de bachillerato.