LEY DEL SENO

A continuación te presento cuatro ejercicios del teorema del seno con sus respectivas explicaciones detalladas:

Ejercicio 1: Calcular el lado desconocido

Enunciado: En el triángulo $���$, se conocen los siguientes datos: $�=7$, $�=9$, y el ángulo $\mathrm{\angle }�=30^{\circ }$. Calcula el lado $�$.

Solución:

1. Aplicamos el teorema del seno:

   $$\frac{�}{\sin �}=\frac{�}{\sin �}=\frac{�}{\sin �}$$

   Primero, necesitamos encontrar uno de los ángulos restantes. Utilizaremos el ángulo $\mathrm{\angle }�$.

2. Usamos el teorema del seno para encontrar $\sin �$:

   $$\frac{�}{\sin �}=\frac{�}{\sin �}$$

   Sustituimos los valores conocidos:

   $$\frac{7}{\sin 30^{\circ }}=\frac{9}{\sin �}$$

   Como $\sin 30^{\circ }=0.5$:

   $$\frac{7}{0.5}=\frac{9}{\sin �}$$
   $$14=\frac{9}{\sin �}$$
   $$\sin �=\frac{9}{14}$$

3. Encontramos $\mathrm{\angle }�$ usando la función inversa del seno:

   $$�=\arcsin \left(\frac{9}{14}\right)\approx 40.49^{\circ }$$

4. Calculamos $\mathrm{\angle }�$:

   Sabemos que la suma de los ángulos en un triángulo es $180^{\circ }$:

   $$\mathrm{\angle }�=180^{\circ }-\mathrm{\angle }�-\mathrm{\angle }�$$
   $$\mathrm{\angle }�=180^{\circ }-30^{\circ }-40.49^{\circ }\approx 109.51^{\circ }$$

5. Usamos el teorema del seno para encontrar $�$:

   $$\frac{�}{\sin �}=\frac{�}{\sin �}$$
   $$\frac{�}{\sin 109.51^{\circ }}=\frac{7}{0.5}$$
   $$\sin 109.51^{\circ }\approx 0.945$$
   $$\frac{�}{0.945}=14$$
   $$�=14\times 0.945\approx 13.23$$

   Por lo tanto, el lado $�$ es aproximadamente $13.23$.

Ejercicio 2: Calcular un ángulo desconocido

Enunciado: En el triángulo $���$, se conocen los siguientes datos: $�=8$, $�=10$, y el ángulo $\mathrm{\angle }�=45^{\circ }$. Calcula el ángulo $\mathrm{\angle }�$.

Solución:

1. Aplicamos el teorema del seno:

   $$\frac{�}{\sin �}=\frac{�}{\sin �}=\frac{�}{\sin �}$$

2. Usamos el teorema del seno para encontrar $\sin �$:

   $$\frac{�}{\sin �}=\frac{�}{\sin �}$$

   Sustituimos los valores conocidos:

   $$\frac{8}{\sin 45^{\circ }}=\frac{10}{\sin �}$$

   Como $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

   $$\frac{8}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{10}{\sin �}$$
   $$8\times \frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sin �}$$
   $$\frac{16}{\sqrt{2}}=\frac{10}{\sin �}$$
   $$\frac{16\sqrt{2}}{2}=\frac{10}{\sin �}$$
   $$8\sqrt{2}=\frac{10}{\sin �}$$
   $$\sin �=\frac{10}{8\sqrt{2}}=\frac{10}{11.31}\approx 0.884$$

3. Encontramos $\mathrm{\angle }�$ usando la función inversa del seno:

   $$�=\arcsin (0.884)\approx 62.33^{\circ }$$

   Por lo tanto, el ángulo $\mathrm{\angle }�$ es aproximadamente $62.33^{\circ }$.

Ejercicio 3: Calcular todos los ángulos de un triángulo

Enunciado: En el triángulo $���$, se conocen los siguientes datos: $�=5$, $ℎ=7$, $�=8$. Calcula todos los ángulos del triángulo.

Solución:

1. Aplicamos el teorema del seno:

   $$\frac{�}{\sin �}=\frac{ℎ}{\sin �}=\frac{�}{\sin �}$$

2. Usamos la ley de los cosenos para encontrar uno de los ángulos, por ejemplo, $\mathrm{\angle }�$:

   $${�}^2={�}^2+{ℎ}^2-2�ℎ\cos �$$

   Sustituimos los valores conocidos:

   $$8^2=5^2+7^2-2\times 5\times 7\cos �$$
   $$64=25+49-70\cos �$$
   $$64=74-70\cos �$$
   $$-10=-70\cos �$$
   $$\cos �=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}$$

3. Encontramos $\mathrm{\angle }�$ usando la función inversa del coseno:

   $$�=\arccos \left(\frac{1}{7}\right)\approx 81.79^{\circ }$$

4. Usamos el teorema del seno para encontrar $\mathrm{\angle }�$ y $\mathrm{\angle }�$:

   $$\frac{�}{\sin �}=\frac{�}{\sin �}$$
   $$\frac{5}{\sin �}=\frac{8}{\sin 81.79^{\circ }}$$
   $$\sin 81.79^{\circ }\approx 0.99$$
   $$\frac{5}{\sin �}=\frac{8}{0.99}$$
   $$\frac{5}{\sin �}\approx 8.08$$
   $$\sin �=\frac{5}{8.08}\approx 0.619$$

5. Encontramos $\mathrm{\angle }�$ usando la función inversa del seno:

   $$�=\arcsin (0.619)\approx 38.27^{\circ }$$

6. Calculamos $\mathrm{\angle }�$:

   $$�=180^{\circ }-�-�$$
   $$�=180^{\circ }-38.27^{\circ }-81.79^{\circ }\approx 59.94^{\circ }$$

   Por lo tanto, los ángulos son aproximadamente $�=38.27^{\circ }$, $�=59.94^{\circ }$, y $�=81.79^{\circ }$.

Ejercicio 4: Calcular el área de un triángulo

Enunciado: En el triángulo $���$, se conocen los siguientes datos: $�=6$, $�=8$, y el ángulo $\mathrm{\angle }�=45^{\circ }$. Calcula el área del triángulo.

Solución:

1. Aplicamos la fórmula del área usando el teorema del seno:

   $$\acute{\text{A}}\text{rea}=\frac{1}{2}��\sin �$$

2. Sustituimos los valores conocidos:

   $$\acute{\text{A}}\text{rea}=\frac{1}{2}\times 6\times 8\times \sin 45^{\circ }$$

   Como $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$:

   $$\acute{\text{A}}\text{rea}=\frac{1}{2}\times 6\times 8\times \frac{\sqrt{2}}{2}$$
   $$\acute{\text{A}}\text{rea}=\frac{1}{2}\times 6\times 8\times 0.707$$
   $$\acute{\text{A}}\text{rea}=24\times 0.707\approx 16.97$$

   Por lo tanto, el área del triángulo es aproximadamente $16.97$ unidades cuadradas.