10 Ejercicios: Hallar el Dominio de Funciones Racionales

A continuación, presento diez ejercicios donde se pide hallar el dominio de funciones racionales, resueltos y explicados.

Ejercicio 1

$�(�)=\frac{1}{�-2}$

Para hallar el dominio de $�(�)$, debemos determinar los valores de $�$ que hacen que el denominador sea cero, ya que estos valores no estarán en el dominio.

$�-2=0⟹�=2$

Por lo tanto, el dominio de $�(�)$ es:

$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },2)\cup (2,\mathrm{\infty })}}$

Ejercicio 2

$�(�)=\frac{�+3}{{�}^2-9}$

Primero, factorizamos el denominador:

${�}^2-9=(�-3)(�+3)$

Los valores que hacen que el denominador sea cero son:

$�-3=0⟹�=3$ $�+3=0⟹�=-3$

Por lo tanto, el dominio de $�(�)$ es:

$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },-3)\cup (-3,3)\cup (3,\mathrm{\infty })}}$

Ejercicio 3

$�(�)=\frac{2�}{{�}^2+�-6}$

Primero, factorizamos el denominador:

${�}^2+�-6=(�+3)(�-2)$

Los valores que hacen que el denominador sea cero son:

$�+3=0⟹�=-3$ $�-2=0⟹�=2$

Por lo tanto, el dominio de $�(�)$ es:

$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },-3)\cup (-3,2)\cup (2,\mathrm{\infty })}}$

Ejercicio 4

$�(�)=\frac{1}{{�}^2-4�+4}$

Primero, factorizamos el denominador:

${�}^2-4�+4=(�-2{)}^2$

El valor que hace que el denominador sea cero es:

$�-2=0⟹�=2$

Por lo tanto, el dominio de $�(�)$ es:

$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },2)\cup (2,\mathrm{\infty })}}$

Ejercicio 5

$�(�)=\frac{{�}^2+1}{{�}^2-16}$

Primero, factorizamos el denominador:

${�}^2-16=(�-4)(�+4)$

Los valores que hacen que el denominador sea cero son:

$�-4=0⟹�=4$ $�+4=0⟹�=-4$

Por lo tanto, el dominio de $�(�)$ es:

$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },-4)\cup (-4,4)\cup (4,\mathrm{\infty })}}$

Ejercicio 6

$�(�)=\frac{3�-1}{{�}^2-5�+6}$

Primero, factorizamos el denominador:

${�}^2-5�+6=(�-2)(�-3)$

Los valores que hacen que el denominador sea cero son:

$�-2=0⟹�=2$ $�-3=0⟹�=3$

Por lo tanto, el dominio de $�(�)$ es:

$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },2)\cup (2,3)\cup (3,\mathrm{\infty })}}$

Ejercicio 7

$�(�)=\frac{2{�}^2-3�+1}{{�}^2+�-2}$

Primero, factorizamos el denominador:

${�}^2+�-2=(�+2)(�-1)$

Los valores que hacen que el denominador sea cero son:

$�+2=0⟹�=-2$ $�-1=0⟹�=1$

Por lo tanto, el dominio de $�(�)$ es:

$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,1)\cup (1,\mathrm{\infty })}}$

Ejercicio 8

$�(�)=\frac{�+5}{{�}^2-�-12}$

Primero, factorizamos el denominador:

${�}^2-�-12=(�-4)(�+3)$

Los valores que hacen que el denominador sea cero son:

$�-4=0⟹�=4$ $�+3=0⟹�=-3$

Por lo tanto, el dominio de $�(�)$ es:

$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },-3)\cup (-3,4)\cup (4,\mathrm{\infty })}}$

Ejercicio 9

$�(�)=\frac{4�-2}{{�}^2+4�+4}$

Primero, factorizamos el denominador:

${�}^2+4�+4=(�+2{)}^2$

El valor que hace que el denominador sea cero es:

$�+2=0⟹�=-2$

Por lo tanto, el dominio de $�(�)$ es:

$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,\mathrm{\infty })}}$

Ejercicio 10

$�(�)=\frac{{�}^2+2�-3}{{�}^2-9�+18}$

Primero, factorizamos el denominador:

${�}^2-9�+18=(�-3)(�-6)$

Los valores que hacen que el denominador sea cero son:

$�-3=0⟹�=3$ $�-6=0⟹�=6$

Por lo tanto, el dominio de $�(�)$ es:

$\boxed{{\displaystyle (-\mathrm{\infty },3)\cup (3,6)\cup (6,\mathrm{\infty })}}$

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Estos son los diez ejercicios resueltos y explicados. Si necesitas más detalles o tienes alguna otra pregunta, ¡dímelo!