APLICACIÓN DE LA FÓRMULA GENERAL DE LA CUADRÁTICA

Aquí tienes cuatro ejercicios donde se aplica la ecuación general de la cuadrática. La ecuación general de la cuadrática es:

$�{�}^2+��+�=0$

La solución de esta ecuación se encuentra usando la fórmula cuadrática:

$�=\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

Ejercicio 1

Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática:

$2{�}^2-4�-6=0$

Ejercicio 2

Resuelve la ecuación cuadrática:

$3{�}^2+5�+2=0$

Ejercicio 3

Determina las soluciones de la ecuación:

${�}^2-6�+9=0$

Ejercicio 4

Halla las raíces de la siguiente ecuación cuadrática:

$4{�}^2+4�+1=0$

A continuación, resolveremos estos ejercicios para mostrar el proceso detallado. Vamos a resolver los cuatro ejercicios utilizando la fórmula cuadrática.

Ejercicio 1

Encuentra las raíces de la ecuación cuadrática:

$2{�}^2-4�-6=0$

Primero identificamos los coeficientes:

• $�=2$
• $�=-4$
• $�=-6$

Usamos la fórmula cuadrática:

$�=\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

Ahora calculamos el discriminante ${�}^2-4��$:

${�}^2-4��=(-4{)}^2-4(2)(-6)=16+48=64$

Luego calculamos las raíces:

$�=\frac{-(-4)\pm \sqrt{64}}{2(2)}=\frac{4\pm 8}{4}$

Por lo tanto, las soluciones son:

${�}_1=\frac{4+8}{4}=3$ ${�}_2=\frac{4-8}{4}=-1$

Ejercicio 2

Resuelve la ecuación cuadrática:

$3{�}^2+5�+2=0$

Identificamos los coeficientes:

• $�=3$
• $�=5$
• $�=2$

Usamos la fórmula cuadrática:

$�=\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

Calculamos el discriminante ${�}^2-4��$:

${�}^2-4��=5^2-4(3)(2)=25-24=1$

Luego calculamos las raíces:

$�=\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2(3)}=\frac{-5\pm 1}{6}$

Por lo tanto, las soluciones son:

${�}_1=\frac{-5+1}{6}=\frac{-4}{6}=-\frac{2}{3}$ ${�}_2=\frac{-5-1}{6}=\frac{-6}{6}=-1$

Ejercicio 3

Determina las soluciones de la ecuación:

${�}^2-6�+9=0$

Identificamos los coeficientes:

• $�=1$
• $�=-6$
• $�=9$

Usamos la fórmula cuadrática:

$�=\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

Calculamos el discriminante ${�}^2-4��$:

${�}^2-4��=(-6{)}^2-4(1)(9)=36-36=0$

Como el discriminante es 0, hay una única solución:

$�=\frac{-(-6)\pm \sqrt{0}}{2(1)}=\frac{6\pm 0}{2}=3$

Por lo tanto, la única solución es:

$�=3$

Ejercicio 4

Halla las raíces de la siguiente ecuación cuadrática:

$4{�}^2+4�+1=0$

Identificamos los coeficientes:

• $�=4$
• $�=4$
• $�=1$

Usamos la fórmula cuadrática:

$�=\frac{-�\pm \sqrt{{�}^2-4��}}{2�}$

Calculamos el discriminante ${�}^2-4��$:

${�}^2-4��=4^2-4(4)(1)=16-16=0$

Como el discriminante es 0, hay una única solución:

$�=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2(4)}=\frac{-4\pm 0}{8}=-\frac{1}{2}$

Por lo tanto, la única solución es:

$�=-\frac{1}{2}$

Resumen de soluciones

1. $2{�}^2-4�-6=0$

   • ${�}_1=3$
   • ${�}_2=-1$

2. $3{�}^2+5�+2=0$

   • ${�}_1=-\frac{2}{3}$
   • ${�}_2=-1$

3. ${�}^2-6�+9=0$

   • $�=3$

4. $4{�}^2+4�+1=0$

   • $�=-\frac{1}{2}$