LEY DEL COSENO

 Aquí tienes seis ejercicios de aplicación de la ley del coseno, bien explicados:

Ejercicio 1: Encontrar el tercer lado de un triángulo

Problema: En un triángulo ABC, se conocen los lados $�=7$ cm, $�=10$ cm, y el ángulo $�=60^{\circ }$. Encuentra el lado $�$.

Solución:

1. Aplicamos la ley del coseno: ${�}^2={�}^2+{�}^2-2��\cos (�)$

2. Sustituimos los valores conocidos: ${�}^2=7^2+10^2-2\cdot 7\cdot 10\cdot \cos (60^{\circ })$ ${�}^2=49+100-140\cdot 0.5$ ${�}^2=49+100-70$ ${�}^2=79$

3. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados: $�=\sqrt{79}\approx 8.89$

Ejercicio 2: Encontrar un ángulo de un triángulo

Problema: En un triángulo ABC, se conocen los lados $�=8$ cm, $�=6$ cm, y $�=10$ cm. Encuentra el ángulo $�$.

Solución:

1. Aplicamos la ley del coseno: ${�}^2={�}^2+{�}^2-2��\cos (�)$

2. Despejamos $\cos (�)$: $\cos (�)=\frac{{�}^2+{�}^2-{�}^2}{2��}$

3. Sustituimos los valores conocidos: $\cos (�)=\frac{8^2+6^2-10^2}{2\cdot 8\cdot 6}$ $\cos (�)=\frac{64+36-100}{96}$ $\cos (�)=\frac{0}{96}$ $\cos (�)=0$

4. Usamos la función inversa del coseno: $�={\cos }^{-1}(0)=90^{\circ }$

Ejercicio 3: Verificación de un triángulo

Problema: En un triángulo ABC, se conocen los lados $�=5$ cm, $�=12$ cm, y $�=13$ cm. Verifica si el ángulo $�$ es un ángulo recto.

Solución:

1. Aplicamos la ley del coseno: ${�}^2={�}^2+{�}^2-2��\cos (�)$

2. Sustituimos los valores conocidos: $13^2=5^2+12^2-2\cdot 5\cdot 12\cdot \cos (�)$ $169=25+144-120\cos (�)$ $169=169-120\cos (�)$

3. Simplificamos: $0=-120\cos (�)$ $\cos (�)=0$

4. Usamos la función inversa del coseno: $�={\cos }^{-1}(0)=90^{\circ }$

5. Confirmamos que el ángulo $�$ es un ángulo recto.

Ejercicio 4: Resolución de un triángulo

Problema: En un triángulo ABC, se conocen los lados $�=9$ cm, $�=11$ cm, y el ángulo $�=45^{\circ }$. Encuentra el lado $�$.

Solución:

1. Aplicamos la ley del coseno: ${�}^2={�}^2+{�}^2-2��\cos (�)$

2. Sustituimos los valores conocidos: ${�}^2=9^2+11^2-2\cdot 9\cdot 11\cdot \cos (45^{\circ })$ ${�}^2=81+121-198\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ ${�}^2=202-99\sqrt{2}$

3. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados: $�=\sqrt{202-99\sqrt{2}}\approx 9.87$

Ejercicio 5: Encontrar el ángulo entre dos lados

Problema: En un triángulo ABC, se conocen los lados $�=8$ cm, $�=15$ cm, y $�=17$ cm. Encuentra el ángulo $�$.

Solución:

1. Aplicamos la ley del coseno: ${�}^2={�}^2+{�}^2-2��\cos (�)$

2. Despejamos $\cos (�)$: $\cos (�)=\frac{{�}^2+{�}^2-{�}^2}{2��}$

3. Sustituimos los valores conocidos: $\cos (�)=\frac{8^2+15^2-17^2}{2\cdot 8\cdot 15}$ $\cos (�)=\frac{64+225-289}{240}$ $\cos (�)=\frac{0}{240}$ $\cos (�)=0$

4. Usamos la función inversa del coseno: $�={\cos }^{-1}(0)=90^{\circ }$

Ejercicio 6: Calcular la longitud de un lado desconocido

Problema: En un triángulo ABC, se conocen los lados $�=6$ cm, $�=8$ cm, y el ángulo $�=45^{\circ }$. Encuentra el lado $�$.

Solución:

1. Aplicamos la ley del coseno: ${�}^2={�}^2+{�}^2-2��\cos (�)$

2. Sustituimos los valores conocidos: ${�}^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos (45^{\circ })$ ${�}^2=36+64-96\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ ${�}^2=100-48\sqrt{2}$

3. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados: $�=\sqrt{100-48\sqrt{2}}\approx 6.68$

Estos ejercicios ilustran cómo aplicar la ley del coseno para encontrar lados y ángulos en triángulos no rectángulos.