SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2

 Aquí tienes tres ejemplos de cómo resolver sistemas de ecuaciones 2x2 usando el método de igualación:

Ejemplo 1

Sistema de Ecuaciones:

1. $�=2�+1$
2. $�=4�-5$

Solución:

1. Igualar las ecuaciones: $2�+1=4�-5$

2. Despejar x:

   $$\begin{gathered} 1+5=4�-2� \\ 6=2� \\ �=3 \end{gathered}$$

3. Sustituir x en una de las ecuaciones originales:

   $$�=2(3)+1=7$$

Solución del sistema: $(�,�)=(3,7)$

Ejemplo 2

Sistema de Ecuaciones:

1. $3�=9�-6$
2. $�=3�+4$

Solución:

1. Igualar las ecuaciones: $3�=9�-6$ $�=3�+4$ $3(3�+4)=9�-6$

2. Despejar x:

   $$\begin{gathered} 9�+12=9�-6 \\ 12=-6\text{ (no hay soluci}\acute{\text{o}}\text{n, ecuaci}\acute{\text{o}}\text{n inconsistente)} \end{gathered}$$

No hay solución (sistema inconsistente).

Ejemplo 3

Sistema de Ecuaciones:

1. $�=-�+3$
2. $2�+2�=10$

Solución:

1. Igualar las ecuaciones: $�=-�+3$ $2�+2(-�+3)=10$

2. Despejar x:

   $$\begin{gathered} 2�-2�+6=10 \\ 6=10\text{ (no es posible)} \end{gathered}$$

3. Simplificar:

   $$\begin{gathered} 2�+2(-�+3)=10 \\ 2�-2�+6=10 \\ 6=10\text{ (no es posible)} \end{gathered}$$

No hay solución (sistema inconsistente).

Estos ejemplos te muestran cómo aplicar el método de igualación para resolver sistemas de ecuaciones lineales y también cómo identificar cuando un sistema no tiene solución.

Aquí tienes dos ejemplos adicionales de cómo resolver sistemas de ecuaciones 2x2 usando el método de igualación:

Ejemplo 4

Sistema de Ecuaciones:

1. $�=3�-7$
2. $�=-�+3$

Solución:

1. Igualar las ecuaciones: $3�-7=-�+3$

2. Despejar x:

   $$\begin{gathered} 3�+�=3+7 \\ 4�=10 \\ �=2.5 \end{gathered}$$

3. Sustituir x en una de las ecuaciones originales:

   $$�=3(2.5)-7=7.5-7=0.5$$

Solución del sistema: $(�,�)=(2.5,0.5)$

Ejemplo 5

Sistema de Ecuaciones:

1. $�=5�-2$
2. $2�=10�-8$

Solución:

1. Igualar las ecuaciones (aunque se nota que son proporcionales, es útil verificar):

   $$5�-2=\frac{1}{2}(10�-8)$$

   $5�-2=5�-4$

2. Despejar x:

   $$-2=-4\text{ (la ecuaci}\acute{\text{o}}\text{n es incorrecta, pero las ecuaciones son dependientes)}$$

Infinitas soluciones (las ecuaciones son proporcionales, cualquier par (x, 5x - 2) es una solución).

Estos ejemplos ilustran cómo usar el método de igualación para resolver sistemas tanto con una solución única como aquellos con infinitas soluciones debido a que las ecuaciones son dependientes.

POR DETERMINANTES

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

${�}_{11}�+{�}_{12}�={�}_1$

${�}_{21}�+{�}_{22}�={�}_2$

Donde ${�}_{11}$, ${�}_{12}$, ${�}_{21}$, ${�}_{22}$, ${�}_1$, y ${�}_2$ son coeficientes conocidos.

El método de determinantes utiliza el determinante de la matriz de coeficientes $�$, que se denota como $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }$, y determinantes de matrices auxiliares para encontrar $�$ e $�$.

1. Calcula el determinante principal $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }={�}_{11}{�}_{22}-{�}_{12}{�}_{21}$.

2. Calcula el determinante $\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }$, que se obtiene reemplazando la primera columna de la matriz de coeficientes con el vector columna $({�}_1,{�}_{12})$.

3. Calcula el determinante $\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }$, que se obtiene reemplazando la segunda columna de la matriz de coeficientes con el vector columna $({�}_{11},{�}_2)$.

4. Encuentra $�$ calculando $�=\frac{\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }}$.

5. Encuentra $�$ calculando $�=\frac{\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }}$.

¡Ahora, vamos a aplicar este método a un ejemplo concreto! Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$2�+3�=8$

$4�-2�=2$

1. Calculamos $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=(2)(-2)-(3)(4)=-4-12=-16$.

2. Calculamos $\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }$ reemplazando la primera columna de la matriz de coeficientes con el vector columna $(8,-2)$:

$\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }=(8)(-2)-(3)(4)=-16-12=-28$

3. Calculamos $\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }$ reemplazando la segunda columna de la matriz de coeficientes con el vector columna $(2,8)$:

$\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }=(2)(-2)-(4)(8)=-4-32=-36$

4. Calculamos $�=\frac{\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }}=\frac{-28}{-16}=\frac{7}{4}$.

5. Calculamos $�=\frac{\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }}=\frac{-36}{-16}=\frac{9}{4}$.

Entonces, la solución del sistema es $�=\frac{7}{4}$ y $�=\frac{9}{4}$.

Aquí tienes otro ejemplo para resolver un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 utilizando el método de determinantes:

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$3�-2�=5$

$4�+�=2$

Vamos a resolverlo paso a paso:

1. Calculamos el determinante principal $\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }=(3)(1)-(-2)(4)=3+8=11$.

2. Calculamos el determinante $\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }$ reemplazando la primera columna de la matriz de coeficientes con el vector columna $(5,1)$:

$\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }=(5)(1)-(-2)(2)=5+4=9$

3. Calculamos el determinante $\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }$ reemplazando la segunda columna de la matriz de coeficientes con el vector columna $(3,2)$:

$\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }=(3)(1)-(4)(2)=3-8=-5$

4. Calculamos $�=\frac{\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }}=\frac{9}{11}$.

5. Calculamos $�=\frac{\mathrm{\mid }{�}_{�}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }�\mathrm{\mid }}=\frac{-5}{11}$.

Entonces, la solución del sistema es $�=\frac{9}{11}$ y $�=\frac{-5}{11}$.

El método de igualación es una técnica para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Aquí tienes un ejemplo paso a paso de cómo resolver un sistema de ecuaciones de 2x2 utilizando este método:

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\{\begin{array}{l}2�+3�=11\\ 4�-2�=2\end{array}$$

Paso 1: Igualar una de las variables en ambas ecuaciones. En este caso, vamos a igualar $�$.

Para hacer esto, igualamos las expresiones para $�$ en ambas ecuaciones:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2�+3�}& {\displaystyle =11}\\ {\displaystyle 4�-2�}& {\displaystyle =2}\end{array}$$

Multiplicamos la primera ecuación por $2$ y la segunda ecuación por $3$ para que los coeficientes de $�$ se igualen:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 4�+6�}& {\displaystyle =22}\\ {\displaystyle 12�-6�}& {\displaystyle =6}\end{array}$$

Paso 2: Sumamos o restamos las ecuaciones para eliminar una de las variables. En este caso, vamos a sumar las ecuaciones para eliminar $�$:

$$(4�+6�)+(12�-6�)=22+6$$

Esto nos da:

$$16�=28$$

Paso 3: Resolvemos para $�$:

$$�=\frac{28}{16}=\frac{7}{4}$$

Paso 4: Sustituimos el valor de $�$ en una de las ecuaciones originales para encontrar $�$. Usaremos la primera ecuación:

$$2\left(\frac{7}{4}\right)+3�=11$$

Esto nos da:

$$\frac{7}{2}+3�=11$$

$$3�=11-\frac{7}{2}=\frac{22}{2}-\frac{7}{2}=\frac{15}{2}$$

$$�=\frac{15}{6}=\frac{5}{2}$$

Entonces, la solución para este sistema de ecuaciones es $�=\frac{7}{4}$ y $�=\frac{5}{2}$.