Formulario de Relatividad General

Compendio de las ecuaciones y formulaciones tensoriales fundamentales de la teoría de Albert Einstein.

1. Ecuaciones de Campo de Einstein (ECE)

Relacionan directamente la geometría del espacio-tiempo con la distribución de materia y energía.

$$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$

• \(G_{\mu\nu}\): Tensor de Einstein (curvatura del espacio-tiempo).
• \(g_{\mu\nu}\): Tensor métrico.
• \(\Lambda\): Constante cosmológica.
• \(G\): Constante de gravitación universal.
• \(c\): Velocidad de la luz en el vacío.
• \(T_{\mu\nu}\): Tensor de energía-impulso (materia, energía y presión).

2. Geometría y Curvatura del Espacio-Tiempo

Intervalo de Espacio-Tiempo (Métrica)

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

Símbolos de Christoffel (Conexión de Levi-Civita)

Describe la variación de los vectores base en un espacio curvo:

$$\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} \left( \frac{\partial g_{\sigma\nu}}{\partial x^\mu} + \frac{\partial g_{\sigma\mu}}{\partial x^\nu} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\sigma} \right)$$

Tensor de Curvatura de Riemann

$$R^\rho_{\ \sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$$

Tensor de Ricci

$$R_{\mu\nu} = R^\lambda_{\ \mu\lambda\nu}$$

Escalar de Ricci (Curvatura Escalar)

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

Tensor de Einstein

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$$

3. Dinámica del Movimiento (Geodésicas)

Ecuación de la Geodésica

Trayectoria de caída libre para partículas u ondas luminosas:

$$\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0$$

Donde \(\tau\) representa el tiempo propio de la partícula.

Desviación Geodésica (Fuerzas de Marea)

$$\frac{D^2 \xi^\mu}{d\tau^2} = R^\mu_{\ \nu\alpha\beta} u^\nu u^\alpha \xi^\beta$$

• \(\xi^\mu\): Vector de separación entre geodésicas.
• \(u^\nu\): Vector cuadrivelocidad.

4. Soluciones Exactas Principales

Métrica de Schwarzschild

Geometría exterior de una masa esférica, estática y sin carga en el vacío (\(T_{\mu\nu} = 0\)):

$$ds^2 = -\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2 \right)$$

Radio de Schwarzschild (Horizonte de eventos):

$$r_s = \frac{2GM}{c^2}$$

Métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW)

Modelo cosmológico para un universo homogéneo e isótropo:

$$ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - kr^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right]$$

Ecuaciones de Friedmann

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{kc^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}$$

5. Efectos Gravitacionales Observables

Dilatación Temporal Gravitacional

$$\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1 - \frac{2GM}{r c^2}}}$$

Redshift Gravitacional

$$\frac{\nu_\infty}{\nu_0} = \sqrt{1 - \frac{2GM}{r c^2}}$$

Desviación de la Luz (Deflexión de Fotones)

$$\theta = \frac{4GM}{c^2 b}$$

Precesión del Perihelio

$$\delta \phi \approx \frac{6\pi G M}{c^2 a (1 - e^2)}$$

6. Ondas Gravitacionales

Aproximación de campo débil (\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}\)):

$$\left( -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2 \right) \bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$$

Fórmula del Cuadrupolo

$$h_{ij}^{\text{TT}}(t, r) = \frac{2G}{c^4 r} \ddot{I}_{ij}\left(t - \frac{r}{c}\right)$$